函数求值域问题总结

常见基本函数的值域

反比例函数

反比例函数求值域：1，截图像；2，找值域。

“反比例函数求值域”是求其他函数值域的基础。

对钩函数

求最低点或最高点

对钩函数 $y=kx+\frac{a}{x},(a>0)$ 如何求最低点或最高点？

令正比例函数等于反比例函数，求出 $x$。

双刀函数

又称飘带函数。

分式类型函数的值域

一次比一次

法一：凑分母，由反比例函数平移得到

比较麻烦。

法二：直接画图

1、先求渐近线 $x=?,y=?$

分母不能为 0，那么竖直渐近线就是令分母为 0 时的 $x$ 取值。；

水平渐近线就是图像无限趋近的一个值。其实就是分子分母的一次项系数之比。

所以向 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ 这种一次比一次的函数，

水平渐近线为 $x=-\frac{d}{c}$，竖直渐近线就是 $y=\frac{a}{c}$

2、然后取特殊点，当 $x=0$ 时，$y=?$

得出 $(0,?)$ 点后，就可以根据这个特殊点和渐近线画出图像了。（图像要么经过 1、3 象限，要么经过 2、4 象限，通过特殊点位置确定）。

举例

分子分母一个二次，一个一次

基本不等式具有局限性，那就是定义域为 $x\in (0,+\mathrm{\infty })$。而画出双钩函数图像，更加全面。

有时候如果一次的式子含有常数项，那么通常将其换元。

例题

二次比二次

法一：凑分母，变成二次比一次问题

法二：判别式法，（具有分母不能为 0 的局限性）

使用判别式法，需要分母 $\ne 0$，若等于零，还使用判别式法可能会有增解（来自于将分母乘到一边）；

所以分母有零的解（${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{分}\mathrm{母}}⩾0$）时，尽量不用判别式法。

如果要用，需要讨论分母为零的情况。

法三：均值不等式

例题

四次比四次

使用换元法求其值域。

其它方法

数形结合

根据单调性求值域

复合函数

求导

其它案例

案例 0：含有根号

情况一

$ax+\sqrt{cx+d}$,有根号，根号内外次数相同，可以使用换元去掉根号。

情况二

$ax+\sqrt{c{x}^2+d}$,有根号，根号内外次数不相同，根号内只有二次项和常数项，可以使用三角换元。

情况三

比如

求 $f(x)=4\sqrt{x^2-2x}+\sqrt{-x^2+2x+4}$ 值域。

令 $\sqrt{x^2-2x}=t,t\in [0,+\mathrm{\infty }]$

$f(x)=4t+\sqrt{4-t^2},t\in [0,2]$

令 $$\begin{gathered} t=2sin\alpha \\ ... \end{gathered}$$

情况四

$ax+\sqrt{c{x}^2+d}$，有根号，且根号内外次数不相同，且根号内只有二次项和一次项和常数项， 就不能使用三角换元了。

例如这道题求 $f(x)=x+4\sqrt{\frac{1}{4}{x}^2-x+2}$ 的值域. 这就需要用到判别法 (将 $y$ 当做一个常数) 了。

例题

$(y-x{)}^2=16(\frac{1}{4}{x}^2-x+2)$

$0=3x^2+(2y-16)x+32-y^2$

对于任意的 x，都有对应的 y 使得式子有解成立。

所以 $\mathrm{\Delta }\ge 0$

一般都是 $\mathrm{\Delta }<0$ 时才会用判别法; $\mathrm{\Delta }>0$ 时用判别法比较麻烦 因为 $\mathrm{\Delta }<0$ 时定义域没有要求不用分情况讨论; $\mathrm{\Delta }>0$ 时需要分情况讨论。

$\mathrm{\Delta }>0$ 的例题

求 $y=f(x)=\frac{3x^2}{x^2+x-1}$ 的值域 因为 $\mathrm{\Delta }=1+4>0$，这时用判别法很容易出错， 所以可以巧解。

一，$y=0$，可以取得。

二，$y\ne 0$,

$\frac{1}{y}=\frac{x^2+x-1}{3x^2}$

$=\frac{1}{3}(-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x}+1),t=\frac{1}{x}$

$=-\frac{1}{3}(t^2-t-1)$

求得 $\frac{1}{y}$ 的值域，再反过来求 $y$ 的范围。

案例 1：分子分母都是多项式，且一个的整体是 2 次，一个的整体是 3 次

比如遇到这种 $S=\frac{(1+3y_0^2{)}^3}{(5+3y_0^2)},y_0\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]$ 分子、分母都是多项式，

且整体括号是 2 次或 3 次，

那么将高次的整体换元。

比如这里的高次整体是 $(1+3y_0^2)$，

那么令 $1+3y_0^2=t,t\in [1,16]$

则 $S=\sqrt{\frac{t^3}{(t+4{)}^2}}=\sqrt{\frac{t^3}{t^2+8t+16}}$

$=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{t}+\frac{8}{t^2}+\frac{16}{t^3}}}$，属于单调递增函数。

$S_{min}=\sqrt{\frac{1}{1+8+16}}=\frac{1}{5}$

如果将 2 次的整体式子换元，那么分母有个 3 次，需要打开，变得非常麻烦！

案例 2：分子分母一个是整式和根式，一个是整式

遇到 $S=\frac{(1+3y_0^2)\sqrt{1+3y_0^2}}{5+3y_0^2},y_0\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]$

这种分子分母一个是整式和根式，一个是整式的函数，

不用将把数字全放入根号内像这样 $S=\sqrt{\frac{(1+3y_0^2{)}^3}{(5+3y_0^2{)}^2}}$。这样虽说也能换元求出值域，

但直接令带根号的式子 $\sqrt{3y_0^2+1}=t$，这样换元更加简单。

如下：

令 $\sqrt{1+3y_0^2}=m,m\in [1,4]$

$S=\frac{m^3}{m^2+4}$

$=\frac{1}{\frac{1}{m}+\frac{4}{m^3}},\uparrow$，是单调递增函数

所以 $S_{min}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$

案例 3：只能通过求导求值域：分子有 3 次项和 1 次项，分母只有 2 次项

$f(s)=\frac{4}{3}\frac{s^3+12s}{s^2-4},s>2$

不管怎么换元，都不会更简单。所以只能求导，根据单调性得出最值。